6 функций денежной единицы таблица. Математические основы оценочной деятельности

⁰

Сложные проценты применяют в тех случаях, когда процент по кредитам (ссудам) выплачивают не сразу, а его присоединяют к сумме долга с последующим определением наращенной суммы FV. Такая процедура начисления «процент на процент» называется капитализацией. Наращение идет по сложному проценту в геометрической прогрессии, а процесс компаудинга (накопления) описывается уравнением FV= PV(1+i) n

В связи с этим для расчета процентной суммы используется следующая формула:

где i - годовая ставка;

n - количество периодов начисления;

m - число периодов начисления;

n*m - общее число периода начисления.

Когда интервалы между очередными платежами постоянны, то такую последовательность называют финансовой рентой или аннуитетом. Аннуитет (серия равновеликих платежей в течение n-периодов) называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода, и авансовым, если платежи осуществляются в начале каждого периода.

Первая функция сложного процента - аккумулированная сумма капитала. Мы уже убедились, что в отличие от простого процента сложный предполагает, что доход приносит не только первоначальная сумма, но и полученный ранее процент на нее. Для определения стоимости, которую будет иметь капитал через несколько лет FV при использовании процедуры сложных процентов, используют формулу, отражающую процесс аккумулирования (компаундинга), наращения в соответствии с геометрической прогрессией: FV= PV(1+i) n

где FV- аккумулированная (будущая) сумма капитала;

PV - текущая стоимость (стоимость инвестиций в начальный период);

i - ставка процента (например, i = 0,10, т.е. 10%);

n - количество периодов начисления.

Эта формула в финансово-экономических расчетах и определяет первую функцию сложного процента, а выражение (1+i) n называется множителем (коэффициентом) наращения или будущей стоимостью единицы аккумулированного капитала F 1: F 1 =(1+i) n

где F 1 рассчитывается или определяется по таблице сложных процентов.

Таким образом, процесс аккумулирования депонированного, или инвестированного, капитала есть процесс накопления денег по заданной ставке i в течение определенного периода времени п.

При более частом, чем один раз в год, аккумулировании фактически полученный доход в конце года включает начисленные в году проценты. В связи с этим различают годовую номинальную и годовую фактическую (эффективную) процентные ставки.

Годовая фактическая ставка - это годовая ставка, учитывающая начисленные сложные проценты. Расчет годовой фактической ставки ведется как процентное отношение дохода к капиталу в конце года, к величине капитала в начале года; в практике фактическую ставку называют эффективной.

Вторая функция сложного процента - это будущая стоимость п-периодного аннуитета. Рассмотрим серию равновеликих и равномерных платежей (вкладов) под процент на определенное количество периодов, при том что в каждом периоде производятся вклады капиталов (РМТ) одной и той же величины (серия вкладов - аннуитет). Этот поток платежей и есть аннуитет.

Наращенная сумма ренты (n-периодного аннуитета) представляет собой сумму всех членов ренты с начисленными на них процентами к концу ее срока.

Аннуитет называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода (рента пост- нумерандо), и авансовым, если платежи осуществляются в начале каждого периода (рента пренумерандо).

Наращенная сумма ренты n-периодного аннуитета будет равна:

где (1 + i) n – 1/f = F 2 - вторая функция сложного процента.

В финансовых расчетах последнее выражение также называют фактором фонда накопления или будущей стоимостью п- периодного аннуитета с платежом в одну денежную единицу (см. таблицу сложных процентов Инвуда).

В отличие от обычного аннуитета при авансовом аннуитете (пренумерандо) первый платеж осуществляется в начале первого периода, т. е. он приносит доход в течение всех n-периодов. Каждый последующий платеж работает на один период меньше, чем предыдущий, наконец, последний платеж приносит доход в течение только одного периода. Как и в случае обычного аннуитета, будущие стоимости каждого платежа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем (1 + i), а первый член этой прогрессии - РМT(1 + i). Используя формулу расчета суммы и членов геометрической прогрессии, получим:

В этом случае фактор фонда накопления F 2 (будущая стоимость авансового аннуитета с платежом в одну денежную единицу) будет равен:

Третья функция сложного процента(обратная второй) - фактор фонда возмещения капитала. Из второй функции имеем:

Где i/(1+i) n –1 = F 3 - фактор фонда возмещения, третья функция сложного

процента.

Коэффициент F 3 показывает денежную сумму, которую необходимо вносить в конце каждого периода для того, чтобы через определенное число периодов остаток на счете составил одну денежную единицу; причем данный фактор учитывает получаемый по взносам процент.

Можно сравнить фактор фонда накопления F 2 и фактор фонда возмещения F 3 Видно, что функция F 3 при фиксированных n и i есть величина, обратная фактору фонда накопления F 2 т.е.

Сравнивая фактор фонда накопления (будущую стоимость авансового аннуитета с платежом в одну единицу) и фактор авансового фонда возмещения, получим соотношение:

Четвертая функция сложного процента (обратная первой) - это текущая стоимость будущего денежного потока, т.е. текущая стоимость денег (инвестиций), PV определится из выражения:

Где 1/ (1+i) n = F 4 - четвертая функция сложного процента, текущая стоимость будущей единицы.

Сравнивая полученную формулу с фактором первой функции, видим:

Процесс пересчета будущей стоимости денежной суммы (потока денег); FV в настоящую называется дисконтированием, а ставка, по которой осуществляется дисконтирование, часто называют ставкой дисконта.

C помощью функции F. можно ответить на два вопроса:

1. Сколько будет стоить сегодня сумма, которую получит инвестор через л-периодов?

2. За сколько нужно купить объект (сколько нужно вложить в объект), чтобы в результате будущей его продажи через n-периодов обеспечить требуемую норму дохода на?

Пятая функция сложного процента - это текущая стоимость аннуитета. Как и предыдущая, данная функция связана с процессом дисконтирования. Пятая функция определяет текущую стоимость серии равномерных равновеликих поступлений денежных средств в течение n-периодов с учетом заданной суммы. Современная величина потока платежей PV - это сумма всех его членов (аннуитетов), уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на конкретный момент времени. Текущая стоимость может быть обычного аннуитета или авансового n-периодного аннуитета

где PV - представляет собой сумму я членов геометрической прогрессии со знаменателем 1/1+i и первым членом PMT/1+c

Отсюда, пользуясь известной формулой суммы членов геометрической прогрессии, получим уравнение:

Где1 – (1+i) n / i= F 5 - пятая функция сложного процента, текущая стоимость " обычного аннуитета.

Авансовый аннуитет построен таким образом, что первый платеж РМТ 1 в потоке доходов производится немедленно, а последующие платежи - через равные промежутки времени. Так как РМТ 1 производится в начальный момент времени, дисконтировать его не нужно. Последующий же я - 1 платеж и другие дисконтируются с учетом того, что k-й платеж производится через k - 1 периодов от начального момента.

В данном случае сумма стоимости всех n-платежей - это

геометрическая прогрессия со знаменателем 1/1+i и первым членом PMT.

Тогда текущая стоимость авансового аннуитета будет равна:

Если РМТ = 1, то получим выражение для фактора текущей стоимости авансового аннуитета F " 5:

Функции F 5 и F " 5 имеют особое значение в статистических расчетах, в оценке инвестиционных проектов, имущества, приносящего доход.

Шестая функция сложного процента (обратная к 5-й) в практике экономико-финансовых вычислений имеет название ипотечная постоянная, или размер платежей для покрытия долга. По известной текущей стоимости (размеру кредита) определяется размер платежей:

Для PV = 1 получим значение взноса на амортизацию денежной единицы - это и есть шестая функция сложного процента - F 6 (ипотечная постоянная).

Для обычных взносов (рента постнумерандо) шестая функция имеет вид:

Для авансовых взносов (рента пренумерандо) шестая функция имеет вид:

Каждый равновеликий взнос РМТ включает сумму процентных денег I nt и уплату первоначальной суммы PRN - суммы основного долга: РМТ=PRN +I nt

Нужно подчеркнуть, что ипотечная постоянная функция F 6 связана с функцией F 3 следующим образом: F 6 =F 3 +i т.е. ипотечная постоянная - это взнос на амортизацию капитала, равный сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки процента на капитал i.

Равномерно-аннуитетный метод возврата основных средств (метод Инвуда). Платежи РМТ идут в конце периода равными долями с увеличивающимися размерами PRN возврата основной суммы долга и с уменьшающимися начислениями процентов i - доходов.

Равномерно-прямолинейный метод (метод Ринга). Чистый операционный доход равномерно снижается при постоянной норме возврата основного долга PRN, а доход I nt равномерно уменьшается. В отличие от метода Ринга метод Инвуда основан на том, что ипотечная постоянная равна сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки капитализации i.

Шестая функция сложного процента широко применяется в экономическом обосновании лизинговых операций.

ТЕМА 3.

^ Математические основы оценочной деятельности
Данная тема рассматривает математические основы оценочной деятельности, которые включают в себя шесть функций денежной единицы.
^ 3.1. Шесть функций денежной единицы
Для определения стоимости собственности, приносящей доход, необходимо определить текущую стоимость денег, которые будут получены через некоторое время в будущем.

Известно, что в условиях инфляции куда более очевидно, что деньги изменяют свою стоимость с течением времени. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.

Накопление – это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости, при условии, что вложенная сумма удерживается на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.

Дисконтирование – это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.

В оценке эти финансовые расчеты базируются на сложном процессе, когда каждое последующее начисление ставки процента осуществляется как на основную сумму, так и на начисленные за предыдущие периоды невыплаченные проценты.

Всего рассматривают 6 функций денежной единицы (см. табл. 5), основанных на сложном проценте. Для упрощения расчетов разработаны таблицы функций для известных ставок дохода и периода накопления (I и n), кроме того, используют финансовый калькулятор для расчета искомой величины.
^ Таблица 5

Структура таблиц шести функций денег

Функция денег	Будущая стоимость единицы	Накопление единицы за период	Фактор фонда возмещения	Текущая стоимость единицы	Текущая стоимость аннуитета	Взнос на амортизацию единицы
Формула
Задано:	PV, i, n	PMT, i, n	FV, i, n	FV, i, n	PMT, i, n	PV, i, n
Определить	FV	FV	PMT	PV	PV	PMT
Тип решаемых задач	Будущая стоимость текущей денежной суммы	Стоимость платежей к концу периода	Норма погашения основной части кредита	Текущая стоимость денежной суммы, которая будет получена в будущем	Текущая стоимость денежных платежей	Регулярный периодический платеж по кредиту, включающий проценты и выплату кредита

1 функция:

Будущая стоимость денежной единицы (накопленная сумма денежной единицы).

Где, FV – будущая стоимость денежной единицы;

PV – текущая стоимость денежной единицы;

I – ставка дохода;

N – число периодов накопления, в годах.

Если начисления осуществляются чаще, чем один раз в год, то формула преобразуется в следующую:

Где, k – частота накоплений в год.
Данная функция используется в том случае, когда известна текущая стоимость денег и необходимо определить будущую стоимость денежной единицы при известной ставке доходов на конец определенного периода (n).

Правило «72-х» : Для примерного определения срока удвоения капитала (в годах) необходимо 72 разделить на целочисленное значение годовой ставки дохода на капитал. Правило действует для ставок от 3 до 18%.

Типичным примером определения будущей стоимости денежной единицы может служить такая задача.

Определить, какая сумма будет накоплена на счете к концу 3-го г., если сегодня положить на счет, приносящий 10% годовых, 10 000 рублей.

Решение: FV=10000[(1+0,1) 3 ]=13310
2 функция:

Текущая стоимость единицы (текущая стоимость реверсии перепродажи).

Если начисление процентов осуществляется чаще, чем один раз в год, то

Примером формулы может служить следующая задача:

Сколько нужно вложить сегодня, чтобы к концу 5-го г. получить на счете 8000, если годовая ставка дохода 10%.

Решение:

3 функция:

Текущая стоимость аннуитета.

Аннуитет – это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени.

Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый.

Формула текущей стоимости обычного аннуитета:

Где, PMT – равновеликие периодические платежи.

Если частота начислений превышает 1 раз в год, то



Формула текущей стоимости авансового аннуитета:

Типовой пример:

Договор аренды дачи составлен на 1 год. Платежи осуществляются ежемесячно по 1000 рублей. Определить текущую стоимость арендных платежей при 12% ставке дисконтирования, если а) платежи осуществляются в конце месяца; б) платежи осуществляются в начале каждого месяца.

4 функция:

Накопление денежной единицы за период. В результате использования данной функции определяется будущая стоимость серии равновеликих периодических платежей (поступлений).

Платежи так же могут осуществляться в начале и в конце периода.

Формула обычного аннуитета:

Авансовое начисление (или авансовый аннуитет):

Типовой пример:

Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 12% годовых, к концу 5-го г., если ежегодно откладывать на счет 10 000 рублей а) в конце каждого г.; б) в начале каждого года. Решение:

5 функция:

Взнос на амортизацию денежной единицы. Функция является обратной величиной текущей стоимости обычного аннуитета.

Взнос на амортизацию денежной единицы используется для определения величины аннуитетного платежа в счет погашения кредита, выданного на определенный период при заданной ставке по кредиту.

Амортизация – это процесс, определяемый данной функцией, включает проценты по кредиту и оплату основной суммы долга.

1 2
При платежах, осуществляемых чаще, чем 1 раз в год используется вторая формула

Аннуитет (по определению) может быть как поступлением (входящим денежным потоком), так и платежом (исходящим денежным потоком) по отношению к инвестору. Поэтому данная функция может использоваться в случае необходимости расчета величины равновеликого взноса на погашение кредита при известном числе взносов и заданной процентной ставке. Такой кредит называют «самоамортизирующийся кредит» .

Примером может служить следующая задача:

Определить, какими должны быть ежегодные платежи, чтобы к концу 7-го года погасить кредит в 100 000 рублей, выданный под 15% годовых. Решение:

Заемщик уплатит кредитору за 7 лет:

24036 * 7 = 168 252 руб

6 функция:

Фактор фонда возмещения. Данная функция обратная функции накопления единицы за период. Фактор фонда возмещения показывает аннуитетный платеж, который необходимо депонировать под заданный процент в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.

Для определения величины платежа используется формула:

При платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем 1 раз в год:

Примером может служить такая задача:

Определить, какими должны быть платежи, чтобы к концу 5-го г. иметь на счете, приносящем 12% годовых, 100 000 рублей. Платежи осуществляются в конце каждого г.

Аннуитетный платеж, определяемый данной функцией, включает выплату основной суммы без выплат процента.

^ ТЕМА 4.

Подготовка информации в процессе оценки
Данная тема рассматривает всю информацию, которая может понадобиться оценщику в процессе подготовки отчета об оценке объекта стоимости. Разделение информации на внешнюю и внутреннюю позволяет студенту лучше разобраться в данной теме.
Информация, используемая в процессе оценки, должна отвечать требованиям:

достоверности;
точности;
комплексности.

Информация должна достоверно отражать ситуацию на предприятии, точно соответствовать целям оценки и учитывать в комплексе внешние условия функционирования оцениваемого предприятия.

Существуют различные порядки организации информации: хронологический, журналистский, логический.

Хронологический порядок предусматривает последовательный переход от прошлого к будущему (или от будущего к прошлому). Например, в отчете об оценке описание процесса производства начинается с истории компании.

При журналистском порядке материал располагается от более важного к менее важному. Так, при анализе финансовой информации, как правило, не имеет смысла описывать всю ретроспективную информацию, внимание акцентируется на наиболее важных пропорциях или коэффициентах.

При логическом порядке информация распределяется от общего к частному или от частного к общему. Например, прежде чем перейти к анализу оцениваемой компании, проводится обзор макроэкономической ситуации, позволяющий определить инвестиционный климат в стране.

Оценка бизнеса основана на анализе стоимости предприятия как товара инвестиционного, то есть с учетом прошлых затрат, текущего состояния и будущего потенциала. Для реализации такого комплексного подхода необходимо провести сбор и анализ большого количества информации, которую можно классифицировать следующим образом:

внешняя информация характеризует условия функционирования приятия в регионе, отрасли и экономике в целом;
внутренняя информация отражает деятельность оцениваемого предприятия.

В основе анализа всех информационных блоков лежит следующая последовательность:

Нормальное функционирование бизнеса возможно при оптимальном сочетании объема продаж, получаемой прибыли и финансовых ресурсов для обеспечения запланированного роста, что в значительной степени определяется внешними факторами функционирования предприятия. К последним относятся макроэкономические и отраслевые факторы: уровень инфляции, темпы экономического развития страны, условия конкуренции в отрасли и т. д.
^ 4.1. Внешняя информация
Блок внешней информации, как отмечалось ранее, охватывает условия функционирования предприятия в отрасли и экономике.

Объем и характер внешней информации различаются в зависимости от целей оценки. При составлении отчета надо показать, что информационная база, собранная и изученная оценщиком, является необходимой и достаточной для итогового заключения о стоимости предприятия. Если обзор информации растянут, не ориентирован на оцениваемый объект, его следует признать неуместным.

Макроэкономические показатели содержат информацию о том, как отражается или отразится на деятельности предприятия изменение макроэкономической ситуации. Данные показатели характеризуют инвестиционный климат в стране. В зависимости от целей оценки макроэкономический обзор может выделяться как отдельный раздел отчета об оценке или рассматриваться в общем контексте отчета.

Факторы макроэкономического риска образуют систематический риск, который возникает из внешних событий, влияющих на рыночную экономику, и не могут быть устранены диверсификацией в рамках национальной экономики.

Риск – степень определенности, характеризующая достижимость в будущем ожидаемых результатов.

Диверсификация - сокращение риска с помощью портфельных инвестиций (приобретение широкого спектра ценных бумаг).

В большинстве случаев риск воспринимается как возможность потери. Любое возможное отклонение в большую или меньшую сторону от прогнозируемой величины есть отражение риска. Анализ фактора риска субъективен: оценщики, уверенные в будущем росте компании, определяют ее текущую стоимость выше по сравнению с аналитиком, составляющим пессимистичный прогноз. Другими словами, чем шире разброс ожидаемых будущих доходов вокруг «наилучшей» оценки, тем рискованнее инвестиции.

Текущая стоимость компании, деятельность которой связана с высоким риском, будет ниже, чем текущая стоимость аналогичной компании, функционирующей в условиях меньшего риска.

Понимание инвестором фактора риска можно изобразить графически (см. рис. 6)

Чем выше оценка инвестором уровня риска, тем большую ставку дохода он ожидает. В мире большинство заказов на оценку связано с анализом закрытых компаний, владельцы которых не диверсифицируют свои акции в той же мере, что и владельцы открытых компаний. Поэтому при оценке компаний закрытого типа оценщик наряду с анализом систематического (макроэкономического) риска должен учитывать факторы несистематического риска. К последним относятся отраслевые риски и риски инвестирования в конкретную компанию.
Рис. 6. Соотношение между ожидаемым риском и ставкой дохода

Основные факторы макроэкономического риска:

уровень инфляции;
темпы экономического развития страны;
изменение ставок процента;
изменение валютного курса;
уровень политической стабильности.

В соответствии с данными факторами выделяют следующие риски.

Инфляционный риск – это риск непрогнозируемого изменения темпов роста цен. Инвестор стремится получить доход, покрывающий инфляционное изменение цен. Высокая или непрогнозируемая инфляция может свести к нулю ожидаемые результаты производственной деятельности; инфляция обеспечивает перераспределение доходов в экономике и повышает предпринимательский риск, результатом чего является занижение реальной стоимости имущества предприятия.

программы Правительства;
Интернет (сайты «РосБизнесКонсалтинг», «Эксперт», «Recep.ru», «Финмаркет»).

Риск, связанный с изменением темпов экономического развития . Цикличность рыночной экономики определяет необходимость учитывать при расчетах общее состояние экономического развития и ожидаемые темпы экономического роста на ближайшую перспективу.

Основные источники информации:

программы Правительства;
аналитические обзоры информационных агентств;
периодическая экономическая печать;
Интернет.

Риск, связанный с изменением величины ставки процента. Движение процентной ставки является реакцией на проводимые меры макроэкономического регулирования и может как приводить к стимулированию инвестиционной активности, так и сдерживать увеличение совокупных расходов в экономике. В процессе оценки факторы систематического и несистематического рисков взвешиваются при расчете ставок дисконта, ставки капитализации, рыночных мультипликаторов и т. д. В качестве безрисковой ставки в этих расчетах, как правило, принимается ставка дохода по государственным долгосрочным ценным бумагам.

Основные источники информации:

информационные агентства;
периодическая экономическая печать;
Интернет.

Риск, связанный с изменением валютного курса. Курсы валют меняются под влиянием экономических и политических факторов. Изменение валютного курса не точно отражает колебания розничных цен в стране, в то же время инфляционная корректировка финансовой информации в процессе оценки, как правило, проводится по колебаниям курса наиболее стабильной валюты.

При составлении прогноза объемов продаж на следующий год оценщик может провести расчеты в рублях, учитывая прогнозируемые инфляционные ожидания, или пересчитать прогнозируемые величины по курсу доллара, инфляционные ожидания по которому ниже. Не учитывать инфляционные ожидания по любому виду валюты нельзя.

Основные источники информации:

программы Правительства;
информационные агентства;
периодическая экономическая печать;
Интернет.

Политический риск – представляет собой угрозу активам, вызванную политическими событиями. Факторы политического риска определяются, как правило, на основе экспертных оценок, проводимых крупными фирмами или аналитическими агентствами.

Основные источники информации:

Данные аналитических обзоров, проводимые агентствами «EURO-MONEY», «Moody’S», «Standard & Poors», «Valuation Center For Central & Eastern Europe», «Dun & Bradstreet»;
Российские аналитические рейтинговый и информационные агентства;
Законодательство РФ.

Страновой риск – он отражает состояние инвестиционного климата в стране по оценке внешних инвесторов.

Уровень странового риска измеряется на основе:

количественных методов оценки (статистических данных);
качественных методов оценки (экспертной оценки);
эконометрических методов оценки (прогноз риска на основе выявленных тенденций при изучении статистических данных);
комбинированных методов оценки.

Пример. Приведем методику оценки странового риска, используемую агентством «EUROMONEY».

1. экономические данные (25%);

2. политический риск (25%);

3. долговые показатели (10%);

4. невыплачиваемые или реструктурированные во времени долги (10%);

6. доступ к банковским финансам (5%);

7. доступ к краткосрочным финансам (5%);

8. доступ к рынкам капитала (5%);

9. дискаунт по форфейтингу (5%).

Оценка политического риска производится на основе экспертных заключений по шкале от 0 до 10 (высокий риск).

Внешняя информация. кроме макроэкономической включает отраслевую информацию: состояние и перспективы развития отрасли, в которой функционирует оцениваемое предприятия. Содержание данного блока определяется степенью доступности отраслевых данных. В нем должны быть отражены условия конкуренции в отрасли; рынки сбыта и возможные варианты использования производимой продукции; факторы, влияющие на потенциальный объем производимой продукции, динамику изменения спроса на нее. Условия функционирования предприятия в отрасли могут оказать серьезное влияние на итоговую величину стоимости.

Основные факторы отраслевого риска:

нормативно-правовая база;
рынки сбыта;
условия конкуренции.

Направления сбора и анализа отраслевой информации можно представить в виде схемы (рис. 7).

Нормативно-правовая база. Она определяется с учетом наличия ограничений для вступления в отрасль, условий конкуренции и ценообразования.

Основные источники информации:

законодательство РФ (правовые базы данных «Гарант», «Консультант-плюс» и др.);
информационные отраслевые бюллетени;

Рынки сбыта. Предложение, спрос, цена являются важными регуляторами рыночной экономики. Достижение сбалансированности между спросом и предложением определяет как общее макроэкономическое равновесие, так и особенности сбыта продукции.

Для анализа выбранной предприятием стратегии сбыта товаров можно использовать, например, матрицу Ансоффа, которая предполагает четыре стратегии:

Проникновение на уже сложившийся рынок с тем же продуктом, что и конкуренты.
Развитие рынка за счет создания новых сегментов рынка.
Разработка принципиально новых товаров или модернизация существующих
Диверсификация производимой продукции для освоения новых рынков.

В зависимости от стратегии сбыта товаров составляется прогноз объемов реализуемой продукции. Особого внимания оценщиков при оценке текущего и будущего потенциалов предприятия заслуживают ограничения в проведении выбранной стратегии: объем спроса и взаимоотношения с поставщиками.

Спрос представляет собой количество товаров и услуг, которое будет куплено по определенной цене за определенный период.

Спрос на товары в количественном выражении измеряется в обратной зависимости от цены при прочих равных условиях. Рыночная цена в итоге устанавливается в результате взаимодействия спроса и предложения.

В процесс сбора информации важны так же отношения с поставщиками с учетом юридической определенности договоров и их надежности.

Цель сбора данной информации - определение потенциала отечественного (если необходимо, и зарубежного) рынка сбыта товара: объем продаж в текущих ценах, ретроспектива за последние 2 – 5 лет по оцениваемому предприятию, объем продаж в текущих ценах по конкурентам, прогнозы по расширению рынков сбыта в России и за ее пределами.

Основные источники информации: :

данные Государственного комитета по статистике РФ;
данные отдела маркетинга оцениваемого предприятия;
периодическая экономическая печать;
Интернет (сайты «КГ Кэпитал», «Бизнес-лист», «Финмаркет»);
личные контакты.

Условия конкуренции. В рыночной экономике наиболее типичны рынки несовершенной конкуренции, на которых механизм свободного конкурентного ценообразования имеет серьезные ограничения.

Оценка конкурентоспособности предприятия проводится с учетом типа рынка, следовательно, наличия ограничений для вступления в отрасль конкурентов, производящих товары-заменители. Анализ должен дополняться сведениями об объеме производства конкурирующего товара в натуральном и стоимостном выражении, характеристикой продукции конкурентов (объем, качество обслуживания, цены, каналы сбыта, реклама), о доле реализуемой продукции в общем объеме отечественного производства, а также перечнем основных российских импортеров этого товара.

Основные источники информации:

Государственный комитет по статистике РФ;
данные отдела маркетинга оцениваемого предприятия;
фирмы-дилеры;
таможенное управление;
отраслевые информационные издания;
бизнес-план.

Особое внимание следует уделять сбору бухгалтерской и ценовой информации по предприятиям-конкурентам. Она требуется для доходного и сравнительного подходов к оценке бизнеса. Цель анализа - определение места оцениваемой компании в отрасли в зависимости от важнейших финансовых показателей и расчета мультипликаторов.

Основные источники информации:

базы данных информационно-аналитических агентств («АК&М», РА «Эксперт» и др.);
русскоязычные сайты Интернет:

информация об оцениваемом предприятии и предприятиях-аналогах

сайт ФКЦБ - электронная анкета раскрытия информации эмитентов ценных бумаг;
сайт СКРИН НАУФОР - система комплексного раскрытия информации НАУФОР (предоставляет в свободном доступе профили предприятий-эмитентов, а также котировки обыкновенных и привилегированных акций);
сайт РА «Эксперт»;

информация о рыночных котировках обыкновенных и привилегированных акций

РТС (Российская торговая система);
ММВБ (Московская межбанковская валютная биржа);
МФБ (Московская фондовая биржа);
СПВБ (Санкт-Петербургская валютная биржа);
ФБ «СП» (фондовая биржа «Санкт-Петербург»);
ЕФБ (Екатеринбургская фондовая биржа);
НКС (внебиржевой рынок - Национальная котировальная система) и др.;

англоязычные сайты и ресурсы:

а) Hoovers Online – Company & Industries;

Б) Bloomberg и др.
^ 4.2. Внутренняя информация
Внутренняя информация характеризует деятельность оцениваемого предприятия. Если читатель отчета не знаком с предприятием, он должен получить максимально полную и точную информацию, чтобы понять особенности оцениваемого предприятия.

Информационный блок обычно включает:

ретроспективные данные об истории компании;
описание маркетинговой стратегии предприятия (условия конкуренции);
производственные мощности;
сведения о рабочем и управленческом персонале;
внутреннюю финансовую информацию (данные бухгалтерского баланса, отчет о финансовых результатах и движении денежных средств за 3-5 лет);
прочую информацию.

Если на предприятии разработан бизнес-план, то в разделе, посвященном описанию предприятия, приводятся основные сведения о предприятии: виды деятельности, характеристика отрасли, факторы, влияющие на деятельность предприятия, основные показатели текущего финансового состояния предприятия и т. д. Кроме того, в бизнес-плане должны быть следующие данные: организационно-правовая форма; размер уставного капитала; сведения о владельцах наибольших долей уставного капитала, контрольных пакетов акций; принадлежность предприятия к концернам, ассоциациям, холдингам.

История компании . В отчете описывается процесс производства продукции по каждому виду производимой продукции и начинается описание с истории компании.

Маркетинговая стратегия предприятия . Маркетинговая стратегия предприятия определяется внешними факторами, а также фазой жизненного цикла производимых товаров и наличием производственных мощностей (рис. 8).
^ Рис. 8. Фазы жизненного цикла товара

I – II фазы - разработка и внедрение товара на рынок; III фаза - рост объемов продажи товара. Увеличение объемов сбыта продукции обеспечивает преодоление предприятием точки безубыточности. Условно-постоянные издержки фиксированы, и выручка покрывает растущие переменные затраты; IV фаза - насыщение рынка производимой продукцией, предельная отдача снижается; V фаза - сокращение объемов реализации, необходимость выработки дальнейшей стратегии: модернизация выпускаемой продукции или освоение новой

Анализируя маркетинговую стратегию предприятия, оценщик должен сопоставить следующую информацию:

объемы продаж за прошлый (ретроспективный), текущий и прогнозируемый периоды;
себестоимость реализованной продукции;
цены товаров и услуг, их динамику;
прогнозируемое изменение объемов спроса;
производственные мощности.

Производственные мощности . Объем выпускаемой продукции определяется, с одной стороны, спросом на нее; с другой - наличием производственных мощностей для ее производства. Поэтому оценщик, особенно при составлении прогнозов, учитывает данные о наличии производственных мощностей на предприятии и будущие капиталовложения.

Пример. Анализируя рынки сбыта, оценщик пришел к выводу, что с учетом освоения рынка стран СНГ можно удвоить объем реализуемой продукции, что составит по г.м:

2003 г. - 200 млн шт.;

2004 г. - 250 млн шт.

Однако производственные мощности предприятия с учетом будущих капиталовложений позволят провести соответственно следующие объемы:

2003 г. – 180 млн. шт.

2004 г. – 200 млн. шт.

В итоге прогноз объемов реализуемой продукции будет скорректирован на производственные мощности.
Рабочий и управленческий персонал . Данный фактор производства оказывает значительное влияние на величину стоимости предприятия. В компаниях закрытого типа труд работников может частично компенсироваться акциями компании (программа участия служащих в прибыли), и работники предприятия могут рассматриваться как совладельцы предприятия, владеющие определенным пакетом акций.

Управляющий предприятием может быть «ключевой фигурой», обеспечивать эффективное управление и развитие бизнеса. Данный факт должен быть учтен в процессе оценки, например, при расчете ставок дисконта, т. к. в случае продажи предприятия его планы в отношении будущей деятельности могут измениться.

Важен также уровень заработной платы на предприятии по сравнению со среднеотраслевыми данными. Отклонение в большую или меньшую сторону рассматривается оценщиком с целью выявления особенностей оцениваемого бизнеса и может корректироваться при нормализации отчетности.

Основные источники информации:

бизнес-план;
интервью с руководителем предприятия;
данные отдела маркетинга;
ретроспективная финансовая отчетность.

Внутренняя финансовая информация . Целью анализа текущей и ретроспективной финансовой отчетности является определение реального финансового состояния предприятия на дату оценки, действительной величины чистой прибыли, финансового риска и рыночной стоимости материальных и нематериальных активов.

В зависимости от целей оценки направления анализа финансового состояния фирмы меняются. Например, если оценивается стоимость миноритарного (неконтрольного) пакета акций предприятия, то потенциального инвестора в большей степени будет интересовать прогнозная оценка рентабельности фирмы, ее способности выплачивать дивиденды.

Основные документы финансовой отчетности, анализируемые в процессе оценки:

бухгалтерский баланс;
отчет о финансовых результатах;
отчет о движении денежных средств.

Кроме того, могут использоваться и другие официальные формы бухгалтерской отчетности , а также внутренняя отчетность предприятия.

В случае, если требуется оценка активов предприятия, необходимо запросить расшифровку по наиболее важным счетам баланса:

1. Необоротные активы:

нематериальные активы;
основные средства;
долгосрочные финансовые вложения.

Образец формы запрашиваемой информации

2. Оборотные средства:

запасы;
дебиторская задолженность;
краткосрочные финансовые вложения.

Образец формы запрашиваемой информации

3. Обязательства:

кредиторская задолженность;
долгосрочная задолженность.

Образец формы запрашиваемой информации

Форма представления запроса информации может содержать:

перечень документов, анализируя которые оценщик собирает необходимую информацию;
перечень данных, заполняемый ответственными сотрудниками предприятия по форме, представленной оценщиком;
перечень документов и данных в соответствии с запросом оценщика.

Пример. Приведем запрос информации, включающий перечень только документов предприятия:

Название и реквизиты предприятия:
Устав.
Бухгалтерская отчетность за последние 3 года (баланс, приложения – ф. 1-5), пояснительная записка к годовому балансу.
Бизнес-план.
Лицензии на осуществляемые виды деятельности (копии патентов и лицензионных договоров, сведения об уплате пошлин).
Отчеты о проводимых на предприятии переоценках основных фондов.
Амортизационная ведомость.
Паспорта БТИ по объектам недвижимости.
Договора аренды.
Договора с крупнейшими дебиторами.
Кредитные договора.
Договора (контракты) на поставку оборудования.

Целью работы оценщика по сбору внутренней информации являются:

анализ истории компании с целью выявления будущих тенденций;
сбор информации для прогнозирования объемов продаж, денежных потоков, прибыли;
учет факторов несистематического риска, характерных для оцениваемого бизнеса;
анализ финансовой документации;
интервью с руководителями и сбор дополнительной информации, позволяющей сделать оценку более реалистичной (в любой компании, особенно закрытого типа, существует набор важных документов, а также информация общего характера, которая может быть получена оценщиком непосредственно от руководителей предприятия).

Расчет исчисления реальной ценности (стоимости) денег основан на временной оценке денежных потоков, которая основана на следующем. Цена приобретения объекта недвижимости определяется, в конечном счете, величиной дохода, который инвестор предполагает получить в будущем. Однако покупка объекта недвижимости и получение доходов происхо¬дят в разные отрезки времени. Поэтому простое сопоставление величи¬ны затрат и доходов в той сумме, в которой они будут отражены в фи¬нансовой отчетности, невозможно (например, 10 млн. рублей готового дохода, полученные через 3 года, будут меньше этой суммы в настоящее время). Однако на стоимость денег оказывают влияние не только инфор¬мационные процессы, но и основное условие инвестирования - вло¬женные деньги должны приносить доход

Приведение денежных сумм, возникающих в разное время, к сопо¬ставимому виду называется временной оценкой денежных потоков. В этих расчетов положен сложный процент, который означает, что вся основная сумма, находящаяся на депозите, должна приносить процент, включая процент, оставшийся на счете с предыдущих периодов

Теория и практика использования функций слож¬ного процента базируется на ряде допущений: 1. Денежный поток, в котором суммы различаются по величине, называют денежным потоком

2. Денежный поток, в котором все суммы равновелики, называют аннуитетом

3. Суммы денежного потока возникают через одинаковые промежутки времени, называемые периодом

4. Доход, получаемый на инвестированный капитал, из хозяйствен¬ного оборота не изымается, а присоединяется к основному капиталу

5. Суммы денежного потока возникают в конце периода (в иных случаях требуется соответствующая корректировка)

Рассмотрим подробнее шесть функций слож¬ного процента

1. Накопленная сумма единицы

Данная функция позволяет определить будущую стоимость имеющейся денежной суммы исходя их предполагаемой ставки периодичности дохо¬да, срока накопления и начисления процентов. Накопленная сумма еди¬ницы - базовая функция сложного процента, позволяющая определить будущую стоимость при заданном периоде, процентной ставке и извест¬ной сумме в будущем

FV = PV * (1 + i)n Пример задачи: Получен кредит 150 млн. руб. сроком на 2 года, под 15% годовых; начисление % происходит ежеквартально. Определить наращенную сумму, подлежащую возврату. 2. Текущая стоимость единицы (фактор реверсии)

Текущая стоимость единицы (ревер¬сии) дает возможность определить настоящую (текущую, приведенную) стоимость суммы, величина которой известна в будущем при заданном периоде процентной ставки. Это процесс, полностью обратный начисле¬нию сложного процента

PV = FV / (1 + i)n Показывает текущую стоимость денежной суммы, которая должна быть единовременно получена в будущем

Пример задачи: Какова текущая стоимость 1 000 долларов, полученных в конце пятого года при 10% годовых при годовом начислении процента? 3. Накопление единицы за период (будущая стоимость аннуитета) . Показывает, какой по истечении всего срока будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого из периодических интервалов, т.е. будущая стоимость аннуитета. (Аннуитет - это денежный поток, в котором все суммы равновелики и возникают через одинаковые промежутки времени)

FVA = (1 + i)n – 1 i PMT Пример задачи: Определить будущую стоимость регулярных ежемесячных платежей величиной по 12000$ в течение 4 лет при ставке 11,5% и ежемесячном накоплении

4. Текущая стоимость обычного аннуитета. Показывает текущую стоимость равномерного потока доходов, например, доходов, получаемых от сдаваемой в аренду собственности. Первое поступление происходит в конце первого периода; последующие - в конце каждого последующего периода

PVA = PMT * 1 - (1 + i)-n i Пример задачи: Определить величину кредита, если известно что в его погашение ежегодно выплачивается по 30000 $ в течение 8 лет при ставке 15%. 5. Фактор фонда возмещения Показывает сумму равновеликого периодического взноса, который вместе с процентом необходим для того, чтобы к концу определенного периода накопить сумму, равную FVA. SFF = FVA * i (1 + i)n - 1 Пример задачи: Определить сумму, ежемесячно вносимую в банк под 15% годовых для покупки дома стоимостью 65000000$ через 7 лет. 6. Взнос на амортизацию единицы Показывает равновеликий периодический платеж, необходимый для полной амортизации кредита, т.е. позволяет определить размер платежа, необходимого для возврата кредита, включая процент и выплату основной суммы долга: PMT = PVA * i 1 - (1 + i)-n Пример задачи: Какими должны быть ежемесячные выплаты по самоамортизирующемуся кредиту в 200000 долларов, предоставленному на 15 лет при номинальной годовой ставке 12%? Тема 2. Рынок недвижимости и особенности его функционирования

Во время проведения разного рода финансовых расчетов нередко приходится решать задачи как по формированию денежных потоков с заданными характеристиками, так и по определению их стоимости. Чтобы облегчить такие расчеты, стандартизировать их, используют специальные функции сложного процента, отражающие изменения в стоимости денежной единицы за определенный период времени.

1. Накопленная сумма единицы

С помощью данной функции определяется величина будущей стоимости денежной единицы (S ) через определенное количество периодов (n ) при сложном проценте (i ).

Где P – начальная сумма

Пример: получен кредит 800 000,00 руб. сроком на 3 года под 14% годовых с начислением процентов раз в полгода. Необходимо вычислить сумму, которая полежит возврату.
Решение:

2. Накопление единицы за период.

Определяет, насколько возрос сберегательный счет, предполагающий регулярные платежи со стороны вкладчика, на который по истечении каждого периода начислялись проценты.

Где М – размер регулярного платежа.

Пример: необходимо определить будущую стоимость производимых регулярно ежемесячных платежей в размере 1 500,00 руб. в течение 3 лет при ставке 15% и ежемесячном накоплении.
Решение:

3. Фактор фонда возмещения.

Показывает размер взноса, которую необходимо периодически вносить на депозит, чтобы к наступлению определенного времени накопить с помощью сложного процента желаемую сумму.

Пример: определить размер ежемесячного взноса в банк при фиксированной процентной ставке 15% годовых для приобретения квартиры стоимостью 1 000 000,00 через 6 лет.
Решение:

4. Текущая стоимость единицы.

Показывает текущую стоимость суммы, полученной единовременно в будущем.

Пример : какой является текущая стоимость 20 000,00 рублей, которые будут получены по истечении 4-го года при 15% годовых и при годовом начислении процента.
Решение:

5. Текущая стоимость аннуитета.

Показывает стоимость равномерного потока платежей на сегодняшний день (). Первое поступление в этом потоке осуществляется в конце первого периода, а последующие – в конце каждого из последующих периодов.

Суть оценки стоимости - приносящего прибыль предприятия состоит в том, что определяется текущая стоимость прибыли, которая будет получена в прогнозируемом периоде. Сум, полученный завтра, стоит меньше, чем сум, полученный сегодня. Это обусловлено тем, что, во-первых, деньги со временем приносят доход; а во-вторых, - инфляционные процессы обесценивают сум. Для определения текущей стоимости завтрашнего сума необходимо провести соответствующие расчеты.

Ниже рассматриваются шесть функций денег, связанные с использованием сложных процентов, о которых эксперт-оценщик должен знать и постоянно использовать в практике оценки.

Вкратце охарактеризуем основные понятия, встречающиеся в данной главе.

Денежные суммы. При оценке стоимости предприятия, приносящего чистый доход, важно определить денежные суммы, которые будут инвестированы в него и получены от этих инвестиций в процессе функционирования предприятия. Определение размеров этих денежных сумм позволяет сделать заключение в том, обеспечат ли данные инвестиции положительнук) ставку дохода, при которой поступление денежных средств превысит их отток на покрытие будущих затрат.

Время. Самое дорогое в этом мире - это время - его нельзя вернуть. Вложенный в дело капитал со временем приносит процент, который, в свою очередь, используется для получения еще большего процента. Время измеряется периодами или интервалами, которые составляют день, месяц, квартал, год и т.д.

Риск. Под инвестиционным риском понимается неопределенность в получении чистых доходов от вложенных инвестиций.

Ставка дохода. Ставка чистого дохода от инвестиций - это процентное отношение чистого дохода к вложенному капиталу. Ставка дохода предполагает оценку сумм ожидаемого чистого дохода и времени их получения. Ставка дохода на инвестиции часто называется ставкой конечной отдачи. Из различных вариантов инвестиционных проектов выбирается тот, по которому ставка дохода наиболее высока (если эксперты руководствуются экономическими критериями). Если ставки дохода двух проектов одинаковы, выбирается проект с меньшим риском. Для выбора варианта инвестирования производится сопоставление ставок дохода и рисков, соответствующих этим вариантам. Лишь после анализа этих сопоставлений можно сделать вывод о выборе варианта инвестирования.

Чистый доход. Чистый доход определяется как сумма чистой прибыли, полученной после уплаты налогов и других обязательных платежей и амортизационных отчислений.

Аннуитет (обычный) - серия равновеликих платежей, первый из которых осуществляется через один период, начиная с настоящего момента, то есть платеж производится в конце рассматриваемых периодов.

Сложный процент. Сложный (кумулятивный) процент означает, что полученный процент, положенный на депозит вместе с первоначальными инвестициями, становится частью основной суммы. Вследующий период времени он наряду с первоначальным депозитом уже сам приносит процент. Простой процент не предполагает получения дохода с процента. Специальные таблицы шести функций денежной единицы (приложение 1) помогают экспертам-оценщикам вести расчеты с использованием сложных процентов. Таблицы состоят из шести колонок, в которых помещены значения, полученные исходя из шести функций денежной единицы.

Первая функция - накопление суммы денежной единицы. Вторая функция - накопление денежной единицы за период. Третья функция - фактор фонда возмещения. Четвертая функция - текущая стоимость денежной единицы Пятая функция - текущая стоимость аннуитета. Шестая функция - внос на амортизацию денежной единицы. Далее рассматриваются порядок расчетов и использование шести функций денежной единицы.

5.1. Первая функция сложного процента

(будущая стоимость денежной единицы - колонка 1)

При расчете ставки дохода на инвестиции, как основного критерия при выборе инвестиционного проекта, используется эффект сложного процента, то есть расчета и учета на вложенный процент.

Денежные средства в примерах, приведенных в настоящем учебном пособии, измеряются в основном в долларах. Это позволяет не учитывать инфляционные процессы в экономике и упростить проводимые расчеты.

Предполагается, что 100 долларов депонированы на специальном счете и приносят ежегодный доход, который накапливается. В первый год 100 долл.принесут 10 долл.в виде процента (10% от 100 долл.= 10 долл.). В конце года остаток на специальном счете составит (ПО долл. ЦОО долл. + 10 долл. =110долл.). Если далее вся сумма в 110 долл. будет в течении второго года находится на депозите, то к концу второго года процент на нее составит уже 11 долл. (10% от НО долл. = 11долл.). Если весь остаток будет оставаться на депозите, то к концу пятого года остаток составит уже 161,05 долл. При простом проценте в 10% ежегодный доход составит 10 долл. Через пять лет, накопленная сумма составит 150 долл. (100 долл. + 5- 10 долл.= 150 долл.). Разница от разных форм депозита составила 11,05 долл.

В связи с тем, что функции сложного процента часто используются в расчетах денежных потоков и в оценке стоимости предприятий, необходимо познакомиться со специальными таблицами шести функций денежной единицы, содержащими предварительно рассчитанные элементы (отдельные множители) сложного процента. Расчет сложного процента в специальной таблице осуществляется по следующей формуле:

Где: S t - депозитная сумма после периодов, если вложен 1 долл.;

1 - один доллар; i - периодическая ставка процента; t - число периодов.

Если инвестор знает из таблицы, сколько будет стоить один доллар через 10 лет при ежегодном накоплении в 10%, то он будет знать, сколько к концу 10 лет будет стоить и инвестированная им сумма, например в 5000 долл.Для этого стоимость 1 долл. к концу 10-летнего периода, взятая в специальной таблице сложного процента (колонка 1), умножается на 5000 долл.(2,594- 5000 = 12 970 долл.).

Накопление денежных средств может происходить более часто, чем год: ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или каждое полугодие. При более частом накоплении денежных средств эффективная ставка процента снижается. Расчет производится по основной формуле с определенной ее корректировкой, число лет (i ), на протяжении которых происходит накопление, умножается на частоту накопления в течении года (если накопление осуществляется раз в квартал, то на 4, если раз в месяц, то на 12), а номинальная годовая ставка процента делится на частоту накопления»

5.2. Вторая функция сложного процента

(текущая стоимость денежной единицы - колонка 4)

Текущая стоимость денежной единицы (стоимость реверсии, V) - это величина, обратная накопленной сумме единицы:

Текущая стоимость денежной единицы - это текущая стоимость одного доллара, которая будет получена в будущем.

Коэффициент текущей стоимости денежной единицы используется для оценки текущей стоимости известного (или прогнозируемого) единовременного поступления денежных средств с учетом заданного процента (с учетом ставки дисконта).

Завтрашняя денежная единица стоит меньше, чем она стоит сегодня, а на сколько - зависит, во-первых, от разрыва во времени между оттоком и поступлением денежных средств, во-вторых, - от величины необходимой ставки процента (ставки дисконта).

Если ставка дисконта равна 10%, то 100 долл., которые мы получим через год, имеют текущую стоимость в 90,91 долларов. Для проверки проведём обратную процедуру. Если инвестор сегодня располагает суммой в 90,91 долл. и может получить в течении года 10%, то доход, полученный за счет процентов, составит 9,09 долл. В этом случае через год остаток увеличится до 100 долл.(90,91+9,09=100)

Связь проведенных расчетов с оценкой стоимости предприятий заключается в следующем. Допустим, инвестору необходимо определить, сколько нужно заплатить сегодня за оцениваемое предприятие, чтобы получить от него доход в 10% годовых, а через два года его продать, например, за 10 млн. долл. Если инвестор собирается получить 10% на вложенный капитал, то сумма, которую он может предложить за предприятие сегодня, - 8,264 млн.долл.

Частое использование в практических расчетах коэффициента текущей стоимости единицы обусловило разработку специальных таблиц, с помощью которых можно быстро найти нужный коэффициент текущей стоимости единицы (колонка-4)

В случае более частого дисконтирования, чем один год, номинальная (годовая ставка) дисконта делится на частоту интервалов, а число периодов в году умножается на число лет. Число периодов в году принимается равным либо 4, либо 12, если интервалом является соответственно квартал или месяц.

5.3. Третья функция сложного процента

(текущая стоимость денежно единичного аннуитета - колонка 5)

Данная функция денег раскрывает текущую стоимость обычного аннуитета, то есть текущей стоимости серии равновеликих платежей.

Эта ситуация может возникнуть, если собственник сдает активы предприятия в аренду и хочет получать ежегодную арендную плату в 100 тыс. долл. в течении следующих 4 лет. При 10%-ной ставке дисконта текущая стоимость первого арендного платежа в 100 тыс. долл. через год равна 90,91 тыс. долл. (100 тыс. долл.- 0,9091=90,91 тыс. долл.), второго арендного платежа - 82,64 тыс. долл.(100 тыс. долл.- 0,8264=82,64 тыс.долл.), третьего арендного платежа - 75,13 тыс.долл., четвертого - 63,30 тыс. долл. Таким образом, текущая стоимость арендных платежей в 100 тыс. долл. в течение последующих 4 лет при 10%-ной ставке дисконта составляет 316,98 тыс. долл. Последняя сумма - справедливый текущий эквивалент ежегодных поступлений в 100 тыс. долл. в течение последующих 4 лет от аренды предприятия.

Для практического использования обычного аннуитета разработаны специальные таблицы. Феномен обычного аннуитета называется также фактором Инвуда по имени американского ученого Вильяма Инвуда (1771-1843), открывшего этот феномен.

Фактор Инвуда (а) рассчитывается по следующей формуле:

Текущая стоимость аннуитета (a i) может быть рассчитана как сумма текущих стоимостей 1 долл. за определенный период времени:

Для построения таблицы обычного аннуитета необходимо сложить данные текущей стоимости единицы за соответствующее число лет.

Если периодические платежи поступают чаще, чем один раз в год, номинальную (годовую) ставку процента необходимо разделить на число периодов в году. Общее число периодов равно числу лет, умноженному на число периодов в году.

Если собственник договаривается с арендатором о том, что он (арендатор) будет осуществлять равномерные авансовые платежи по следующей схеме: первый платеж немедленно после подписания контракта, а последующие, равные платежи через определенный период, то такие платежи называются авансовым аннуитетом.

При авансовом аннуитете первый платеж не дисконтируется, поскольку он вносится сразу, последующие поступления же дисконтируются: второй платеж дисконтируется с использованием фактора текущей стоимости единицы для первого интервала, который можно взять из специальных таблиц сложного процента (колонка-5). Для превращения обычного аннуитета в авансовый необходимо к фактору обычного аннуитета, укороченного на один период, добавить единицу. При добавлении единицы учитывается первое поступление, которое осуществляется сразу после подписания контракта. Таким образом, при сокращении денежного потока на один период во внимание принимается текущая стоимость остальных платежей.

Пример. Арендная плата за пользование имуществом предприятия составляет 100 тыс. долл. и выплачивается по контракту в течении 4 лет в начале каждого года. Текущая стоимость авансового ануитета при ставке дисконта в 10% составляет 348,68тыс.долл,и распределяется следующим образом: текущая стоимость первого платежа - 100 тыс. долл., второго - 90,91 тыс. долл., третьего - 82,64 тыс.долл., четвёртого - 75,13 тыс.долл.

Доход от владением предприятием может быть получен: 1) в виде денежного потока от арендных платежей за арендованное имущество предприятия или от прибыли; 2) в виде единовременной выручки от продажи активов предприятия. Для оценки этих видов доходов используется два различных фактора сложного процента: для денежного потока используется фактор текущей стоимости аннуитета; для единовременного дохода от продажи - фактор текущей стоимости единицы.

Пример. На протяжении 25 лет в конце каждого года предприятие приносит владельцу прибыль, равную 65 тыс. долл. Владелец решил продать предприятие за 500 тыс. долл. Ставка дисконта составляет 12%. Для оценки доходов от прибыли предприятия fro специальной таблице сложного процента (колонка-5) определяем текущую стоимость аннуитета. Она составляет при ставке дисконта 12% и продолжительности 25 лет - 7,8431, Умножая ежегодную прибыль в 65 тыс. долл. на текущую стоимость аннуитета 7,8431, определим текущую стоимость потока прибыли за 25 лет функционирования предприятия. Она составит 509804 долл.

Для оценки текущей стоимости от продажи предприятия через 25 лет используем фактор текущей стоимости единицы (колонка-4). Он равен 0,0588. Умножая полученный доход от продажи предприятия (500 тыс. долл.) на фактор текущей стоимости единицы (0,0588), получим текущую стоимость дохода от продажи предприятия (29,411 тыс. долл.). Тогда общая текущая стоимость активов предприятия оценивается в 539,215 тыс.долл. Вданном примере использованы два фактора сложного процента: текущая стоимость единицы и текущая стоимость обычного аннуитета.

Возможна ситуация, когда доход от продажи предприятия может быть большим или меньшим, чем 500 тыс. долл., то есть, имеет место неопределенность. Эту неопределенность можно учесть, используя для оценки дохода от продажи ставку дисконта не 12%, как для доходов от прибыли, а, например, 15%. В этом случае оценочная текущая стоимость активов предприятия составит:

65 тыс. долл. х 7,8431 = 509 802 долл.

500 тыс. долл. х 0,0304 = 15 200 долл.

525 002 долл.

5.4. Четвёртая функция сложного процента

(взнос на амортизацию денежной единицы - колонка-6)

Внос на амортизацию денежной единицы - это регулярный периодический платеж в погашение кредита, приносящего процентный доход. Это величина, обратная текущей стоимости аннуитета.

Амортизация в данном случае - это погашение (возмещение, ликвидация) долга в течение определенного времени. Взнос на амортизацию кредита математически определяется как отношение одного платежа к первоначальной основной сумме кредита. Взнос на амортизацию единицы равен обязательному периодическому платежу по кредиту, включающему процент и выплату части основной суммы. Это позволяет погасить кредит и проценты по нему в течение установленного срока.

Как показано выше, 1 долл., ожидаемый к получению в конце каждого года на протяжении 4 лет, имеет при 10% годовой ставке текущую стоимость 3,1698. Первый доллар будет стоить 0,90909 долл., второй - 0,8264 долл., третий - 0,7513 долл., четвертый - 0,6830 долл. Сумма за четыре года составит 3,1698 долл.(0,90909 + 0,8264 + 0,7513 + +0,6830 » 3,1698).Это текущая стоимость аннуитета.

Величина износа на амортизацию единицы равна обратной величине текущей стоимости аннуитета, то есть взнос на амортизацию 1 долл.составляет величину обратную 3,1698 долл. При кредите в 3,1698 долл. под 10% годовых ежегодный платеж на его погашение в течение 4 лет равен 1 долл.

Математическое отношение одного платежа к первоначальной годовой сумме кредита, то есть взнос на амортизацию кредита, составляет

Эта величина показывает размер периодического платежа для погашения задолжности по кредиту 3,1698 долл.Таким образом, для того, чтобы полностью погасить долг - его первоначальную сумму и начисляемые на остаток 10% годовых за каждый доллар кредита по окончании каждого года в течение 4 лет - необходимо выплачивать 0,315477 долл.

Чем выше процентная ставка и/или короче амортизационный период, тем выше должен быть обязательный периодический взнос. И, наоборот, чем ниже ставка процента и/или более продолжительный период выплаты кредита, тем ниже процент регулярного взноса.

Каждый взнос на амортизацию единицы включает процент и выплату части первоначальной основной суммы кредита. Соотношение этих составляющих изменяется с каждым платежом.

Практическое использование фактора взноса на амортизацию единицы обусловило разработку специальных таблиц, которые содержат значение этого фактора в расчете на один доллар кредита или 100 долл. и т.д. При составлении таблиц используется формула, обратная формуле текущей стоимости аннуитета:

Где: РМТ - фактор взноса за амортизацию единицы; i - периодическая ставка процента; t - число периодов; а - текущая стоимость аннуитета.

Если условия выдачи кредитов предусматривают ежемесячное или поквартальное погашение за должности, то номинальная ставка годового процента делится на частоту начисления процента (соответственно на 12 или на 4), а для того, чтобы определить общее число периодов, число периодов в течение года умножается на общее число лет.

Как было указано выше, с течением времени сумма по выплачиваемым процентам уменьшается, так как уменьшается остаток (процент начисления на остаток), а сумма основной выплаты возрастает.

5.5. Пятая функция сложного процента

(накопление денежной единицы за период - колонка 2)

Фактор накопления единицы позволяет ответить на вопрос о том, какой по истечении всего установленного срока будет стоимость серии равных взносов, депонированных в конце каждого из периодических интервалов. Если мы вкладываем в течении трех лет 1 долл., то при ставке 10% годовых доллар, депонированный в конце первого года, будет приносить процент в течение последующих двух лет; доллар, депонированный в конце второго года, будет приносить процент в течение последующего одного года; доллар, депонированный в конце третьего года, не принесет процентов вовсе.

Пример. Предприниматель хочет накопить определенную сумму для покупки нового станка. Станок стоит 4,641 долл.

Он каждый год (в конце года) откладывает на депозит по одному доллару, который приносит 10%-ный годовой доход. К концу четвертого года он скапливает необходимую сумму (4,641 долл.) и покупает станок.

Расчет специальных таблиц накопления единицы за период S(ti i) осуществляется по следующей формуле:

Результаты расчётов помещаются в колонку 2 специальной таблицы сложного процента.

5.6. Шестая функция сложного процента

(фактор фонда возмещения - колонка 3)

Фактор фонда возмещения показывает сумму, которую нужно депонировать в конце каждого периода (периодический депозит), чтобы через заданное число периодов остаток на счете составил 1 долл. При этом учитывается процент, получаемый по депозитам.

Пример. Для получения одного долл., через четыре года при нулевом проценте необходимо депонировать в конце каждого года по 25 центов. Если ставка процента составит 10%, то по окончании каждого года необходимо депонировать всего 21,5471 центов. Разница между 1 долл. и суммы четырех вкладов (4- 21,5471 = 86,1884 центов), равная 13,8116 центов (100 центов-861884 центов), представляет собой процент, полученный по вкладам.

Пример. Предположим, что предпринимателю необходимо за четыре года скопить 4,641 долл., для покупки станка. Какие суммы денег ему необходимо откладывать каждый год при 10% годовых, чтобы через четыре года купить станок стоимостью 4,641 долл.?

Ответ: ежегодный вклад должен составить 1 долл. (0,215471 4,641=1 долл.).

В специальной таблице сложного процента (см. Приложение 1) фактор фонда возмещения находится в колонке 3.

Фактор фонда возмещения показывает сумму, которую необходимо депонировать в каждый период, чтобы по истечении заданного числа периодов остаток достиг одного доллара. Эта величина является обратной фактору накопления единицы за период (колонка 2).

Фактор фонда возмещения равен части от взноса на амортизацию 1 долл., который в свою очередь состоит из двух слагаемых: первый - ставка процента, второй - фактор фонда возмещения или возврат инвестированной суммы.

Приложение 1

Таблицы сложных процентов-шесть функций

денежной единицы

Начисление процентов - ежегодное

Год	Будущая стоимость единицы	Накопление единицы за период	Фактор фонда возмещения	Текущая стоимость единицы	Текущая стоимость единичного аннуитета	Взнос за амортизацию единицы
1	1,06000	1,00000	1,00000	0,94340	0,94340	1,06000
2	1,12360	2,06000	0,48544	0,89000	1,83339	0,54544
3	1,19102	3,18360	0,31411	0,83962	2,67301	0,37411
4	1,26248	4,37462	0,22859	0,79209	3,46511	0,28859
5	1,33823	5,63709	0,17740	0,74726	4,21236	0,23740
6	1,41852	6,97532	0,14336	0,70496	4,91732	0,20336
7	1,50363	8,39384	0,11914	0,66506	5,58238	0,17914
8	1,59385	9,89747	0,10104	0,62741	6,20979	0,16104
9	1,68948	11,49132	0,08702	0,59190	6,80169	0,14702
10	1,79085	13,18079	0,07587	0,55839	7,36009	0,13587
11	1,89830	14,97164	0,06679	0,52679	7,88687	0,12679
12	2,01220	16,86994	0,05928	0,49697	8,38384	0,11928
13	2,13293	18,88214	0,05296	0,46884	8,85268	0,11296
14	2,26090	21,01507	0,04758	0,44230	9,29498	0,10758
15	2,39656	23,27597	0,04296	0,41727	9,71225	0,10296
16	2,54035	25,67253	0,03895	0,39365	10,10590	0,09895
»7	2,69277	28,21288	0,03544	0,37136	10,47726	0,09544
18	2,85434	30,90565	0,03236	0,35034	10,82760	0,09236
19	3,02560	33,75999	0,02962	0,33051	11,15812	0,08962
20	3,20714	36,78559	0,02718	0,31180	11,46992	0,08718
21	3,39956	39,99273	0,02500	0,29416	11,76408	0,08500
22	3,60354	43,39229	0,02305	0,27751	12,04158	0,08305
23	3,81975	46,99583	0,02128	0,26180	12,30338	0,08128
24	4,04893	50,81558	0,01968	0,24698	12,55036	0,07968
25	4,29187	54,86451	0,01823	0,23300	12,78336	0,07823
26	4,54933	59,15638	0,01690	0,21981	13,00317	0,07690
27	4,82235	63,70576	0,01570	0,20737	13,21053	0,07570
28	5,11169	68,52811	0,01459	0,19563	13,40616	0,07459
29	5,41839	73,63980	0,01358	0,18456	13,59072	0,07358
30	5,74349	79,05818	0,01265	0,17411	13,76483	0,07265
31	6,08810	84,80168	0,01179	0,16425	13,92909	0,07179
32	6,45339	90,88978	0,01100	0,15496	14,08404	0,07100
33	6,84059	97,34316	0,01027	0,14619	14,23023	0,07027
34	7,25102	104,18375	0,00960	0,13791	14,36814	0,06960
35	7,68609	111,43478	0,00897	0,13011	14,49825	0,06897
36	8,14725	119,12087	0,00839	0,12274	14,62099	0,06839
37	8,63609	127,26812	0,00786	0,11579	14,73678	0,06786
38	9,15425	135,90421	0,00736	0,10924	14,84602	0,06736
39	9,70351	145,05846	0,00689	0,10306	14,94907	0,06689
40	10,28572	154,76197	0,00646	0,09722	15,04630	0,06646